VECTO PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG

     

Để sử dụng cách thức tọa độ, bạn phải nắm rõ các công thức. Có ba trong số họ:

Thoạt nhìn, nó trông có vẻ như đe dọa, nhưng chỉ việc thực hành một ít - và đều thứ sẽ vận động tốt.

Bạn đang xem: Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Nhiệm vụ. Tìm kiếm côsin của góc giữa những vectơ a = (4; 3; 0) cùng b = (0; 12; 5).

Quyết định. Vì shop chúng tôi được cung ứng tọa độ của những vectơ, cửa hàng chúng tôi thay thế nó vào công thức đầu tiên:

Nhiệm vụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua những điểm M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) và K = (2; 1; 0), giả dụ biết nó không trải qua nguồn gốc.

Quyết định. Phương trình bao quát của phương diện phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, nhưng vì chưng mặt phẳng mong ước không trải qua gốc - điểm (0; 0; 0) - phải ta để D = 1. Vì mặt phẳng này trải qua qua những điểm M, N cùng K thì tọa độ của những điểm này sẽ trở thành phương trình thành một đẳng thức số đúng.

Chúng ta hãy thay tọa độ của điểm M = (2; 0; 1) ráng cho x, y và z. Bọn họ có: A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Tương tự, đối với các điểm N = (0; 1; 1) cùng K = (2; 1; 0), ta có phương trình: A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0; A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Vì vậy, bọn họ có ba phương trình và ba ẩn số. Cửa hàng chúng tôi soạn với giải hệ phương trình:

*

Ta được phương trình của mặt phẳng tất cả dạng: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Nhiệm vụ. Phương diện phẳng cho vị phương trình 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Tìm tọa độ của vectơ vuông góc với mặt phẳng đang cho.

Quyết định. Sử dụng công thức sản phẩm công nghệ ba, bọn họ nhận được n = (7; - 2; 4) - vậy thôi!

Tính toán tọa độ của vectơ

Nhưng ví như trong bài toán không tồn tại vectơ như thế nào - chỉ có những điểm nằm trên các đường thẳng và yêu cầu tính góc giữa những đường thẳng này thì sao? Thật đơn giản: biết tọa độ của các điểm - điểm đầu cùng điểm cuối của vectơ - bạn có thể tính được tọa độ của chính vectơ đó.

Để tìm kiếm tọa độ của một vectơ, cần được trừ tọa độ của điểm đầu mang lại tọa độ của điểm cuối của nó.

Định lý này chuyển động như nhau trên mặt phẳng với trong không gian. Biểu thức "trừ tọa độ" tức là tọa độ x của một điểm không giống bị trừ đi tọa độ x của một điểm, kế tiếp phải triển khai điều giống như với tọa độ y và z. Dưới đấy là một số ví dụ:

Nhiệm vụ. Có bố điểm trong ko gian, được cho vì chưng tọa độ của chúng: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) với C = (- 4; 3; - 2). Search tọa độ những vectơ AB, AC và BC.

Xét vectơ AB: điểm đầu của nó là vấn đề A với điểm cuối của nó là vấn đề B. Do đó, để tìm được toạ độ của nó, rất cần được trừ toạ độ của điểm A đến toạ độ của điểm B: AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Tương tự, điểm đầu của vectơ AC vẫn là điểm A, dẫu vậy điểm cuối là vấn đề C. Bởi vì đó, ta có: AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Cuối cùng, để tìm tọa độ của vectơ BC, cần được trừ tọa độ của điểm B cho tọa độ của điểm C: BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Đáp số: AB = (2; - 7; 4); AC = (−5; −3; −5); BC = (−7; 4; - 9)

Chú ý đến phép tính tọa độ của vectơ cuối BC: không hề ít người mắc sai lạc khi làm việc với các số âm. Điều này vận dụng cho thay đổi y: điểm B có tọa độ y = - 1, cùng điểm C tất cả y = 3. Ta dấn được chính xác 3 - (- 1) = 4, chứ chưa phải 3 - 1 như không ít người dân vẫn nghĩ. Đừng mắc phải những sai lầm ngu đần như vậy!

Tính toán vectơ hướng mang lại đường thẳng

Nếu bạn đọc kỹ vấn đề C2, các bạn sẽ ngạc nhiên thấy lúc rằng không có vectơ nào ở đó. Chỉ bao gồm đường thẳng và mặt phẳng.

Hãy bước đầu với các đường thẳng. Phần lớn thứ rất dễ dàng và đơn giản ở đây: trên bất kỳ dòng nào có ít nhất hai điểm không giống nhau và ngược lại, nhị điểm khác nhau bất kỳ xác định một mẫu duy tốt nhất ...

Có ai hiểu các gì được viết trong đoạn trước không? bạn dạng thân tôi cũng không hiểu biết nên tôi đã giải thích dễ dàng hơn: trong việc C2, những đường luôn được cho vì chưng một cặp điểm. Nếu chúng ta giới thiệu một hệ tọa độ và chu đáo một vectơ gồm điểm đầu và điểm cuối tại đầy đủ điểm này, bọn họ nhận được loại gọi là vectơ lãnh đạo của một đường thẳng:

*

Tại sao cần có vector này? Điểm ở đấy là góc giữa hai tuyến phố thẳng là góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng. Vị đó, họ đang chuyển từ những đường thẳng cạnh tranh hiểu sang những vectơ núm thể, tọa độ của chúng rất có thể dễ dàng tính được. Làm vậy nào dễ dàng? Hãy xem các ví dụ:

Nhiệm vụ. Những đường trực tiếp AC và BD 1 được vẽ vào hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm tọa độ các vectơ chỉ phương của những đường trực tiếp này.

*

Vì độ dài các cạnh của hình lập phương không xác định trong đk nên ta đặt AB = 1. Hãy reviews một hệ trục tọa độ với cội tọa độ trên điểm A và các trục x, y, z được bố trí theo hướng dọc theo các đường trực tiếp AB, AD cùng AA. 1, tương ứng. Đoạn đơn vị chức năng bằng AB = 1.

Bây giờ chúng ta hãy tra cứu tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. Ta đề xuất hai điểm: A = (0; 0; 0) và C = (1; 1; 0). Từ trên đây ta được tọa độ của vectơ AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - đây là vectơ chỉ phương.

Bây giờ chúng ta hãy cách xử trí đoạn thẳng BD 1. Nó cũng đều có hai điểm: B = (1; 0; 0) và D 1 = (0; 1; 1). Ta được vectơ chỉ phương BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Đáp số: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Nhiệm vụ. Trong lăng trụ tam giác các ABCA 1 B 1 C 1 có toàn bộ các cạnh bởi 1, những đường thẳng AB 1 cùng AC 1. Tìm kiếm tọa độ những vectơ chỉ phương của những đường trực tiếp này.

*

Chúng ta chỉ dẫn một hệ trục tọa độ: gốc tọa độ trên điểm A, trục x trùng cùng với AB, trục z trùng với AA 1, trục y chế tác thành khía cạnh phẳng OXY cùng với trục x trùng với mặt phẳng ABC. .

Đầu tiên, bọn họ hãy cách xử trí đoạn thẳng AB 1. đông đảo thứ rất dễ dàng và đơn giản ở đây: bọn họ có những điểm A = (0; 0; 0) cùng B 1 = (1; 0; 1). Ta được vectơ chỉ phương AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Bây giờ chúng ta hãy search vectơ chỉ phương của AC 1. Phần lớn thứ gần như giống nhau - điểm khác hoàn toàn duy nhất là vấn đề C 1 tất cả tọa độ không phù hợp lý. Vì chưng vậy, A = (0; 0; 0), bởi đó, cửa hàng chúng tôi có:

Đáp số: AB 1 = (1; 0; 1);

*

Một lưu giữ ý nhỏ dại nhưng rất đặc biệt về ví dụ như cuối cùng. Giả dụ điểm đầu của vectơ trùng cùng với điểm gốc, những phép tính được đơn giản và dễ dàng hóa vô cùng nhiều: tọa độ của vectơ chỉ dễ dàng bằng tọa độ của điểm cuối. Thật không may, điều này chỉ đúng với vectơ. Ví dụ, khi thao tác làm việc với các mặt phẳng, sự hiện hữu của nơi bắt đầu tọa độ trên bọn chúng chỉ làm phức hợp các tính toán.

Tính vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng

Các vectơ thông thường không yêu cầu là các vectơ đang chuyển động tốt hoặc cảm xúc tốt. Theo định nghĩa, một vectơ pháp đường (pháp tuyến) so với một khía cạnh phẳng là 1 vectơ vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Nói giải pháp khác, pháp tuyến là một trong vectơ vuông góc với 1 vectơ ngẫu nhiên trong một mặt phẳng mang đến trước. Chắc chắn rằng bạn đã bắt gặp một định nghĩa vì vậy - tuy nhiên, thay vì vectơ, nó là về đường thẳng. Mặc dù nhiên, nghỉ ngơi trên đã cho là trong bài toán C2 fan ta có thể thao tác với bất kỳ đối tượng dễ dàng nào - ngay cả một mặt đường thẳng, thậm chí là một vectơ.

Tôi xin đề cập lại một lần tiếp nữa rằng bất kỳ mặt phẳng nào cũng được xác định trong không khí bởi phương trình Ax + By + Cz + D = 0, trong số ấy A, B, C với D là một số trong những hệ số. Không làm bớt tính bao quát của nghiệm, bạn có thể giả sử D = 1 nếu mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ, hoặc D = 0 ví như nó có. Trong hồ hết trường hợp, tọa độ của vectơ pháp con đường với mặt phẳng này là n = (A; B; C).

Vì vậy, máy cất cánh cũng có thể được sửa chữa thành công bằng một vectơ - và một pháp tuyến. Ngẫu nhiên mặt phẳng nào được xác định trong không khí bởi ba điểm. Làm thế nào để tìm phương trình của phương diện phẳng (và vì vậy là pháp tuyến), họ đã luận bàn ở phần đầu của bài viết. Mặc dù nhiên, quy trình này gây ra nhiều vấn đề cho các người, vị vậy tôi sẽ giới thiệu một vài lấy ví dụ như khác:

Nhiệm vụ. Tiết diện A 1 BC 1 được vẽ vào hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tra cứu vectơ pháp đường của phương diện phẳng này, nếu nơi bắt đầu tọa độ trên điểm A và các trục x, y, z theo lần lượt trùng với những cạnh AB, AD và AA 1.

*

Vì khía cạnh phẳng không trải qua gốc tọa độ phải phương trình của nó tất cả dạng như sau: Ax + By + Cz + 1 = 0, tức là hệ số D u003d 1. Do mặt phẳng này đi qua những điểm A 1, B cùng C 1 cần tọa độ của các điểm này đổi mới phương trình của phương diện phẳng thành một đẳng thức số đúng.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Tương tự, với những điểm B = (1; 0; 0) cùng C 1 = (1; 1; 1), ta bao gồm phương trình: A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1; A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Nhưng các hệ số A = - 1 và C = - 1 sẽ được bọn họ biết trước, bởi vì vậy chúng ta vẫn đề nghị tìm hệ số B: B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Ta được phương trình của mặt phẳng: - A + B - C + 1 = 0, vày đó, tọa độ của vectơ pháp con đường là n = (- 1; 1; - 1).

Nhiệm vụ. Mặt cắt AA 1 C 1 C được vẽ vào hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Search vectơ pháp tuyến đường của phương diện phẳng này nếu nơi bắt đầu tọa độ trên điểm A và những trục x, y, z trùng với những cạnh AB, AD với AA 1 lần lượt.

*

Trong trường phù hợp này, phương diện phẳng trải qua gốc tọa độ, vì thế hệ số D u003d 0, cùng phương trình của khía cạnh phẳng tất cả dạng như sau: Ax + By + Cz u003d 0. Vày mặt phẳng đi qua các điểm A 1 với C nên tọa độ của các điểm này thay đổi phương trình của mặt phẳng thành bình đẳng số chủ yếu xác.

Chúng ta hãy ráng tọa độ của điểm A 1 = (0; 0; 1) chũm cho x, y và z. Bọn họ có: A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Tương tự, so với điểm C = (1; 1; 0) ta tất cả phương trình: A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Cho B = 1. Khi ấy A = - B = - 1, với phương trình của toàn phương diện phẳng là: - A + B = 0. Vì đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến đường là n = (- 1; 1; 0).

Nói chung, trong những bài toán trên, rất cần được lập một hệ phương trình với giải nó. Sẽ có ba phương trình và tía biến, nhưng mà trong trường hợp đồ vật hai, một trong những chúng vẫn miễn phí, có nghĩa là nhận quý hiếm tùy ý. Đó là nguyên nhân tại sao chúng ta có quyền để B = 1 - mà không ảnh hưởng đến tính bao quát của lời giải và tính đúng mực của câu trả lời.

Xem thêm: Truyện Cổ Tích Việt Nam

Rất thường xuyên trong việc C2, nó được yêu cầu làm việc với những điểm phân tách đôi đoạn. Tọa độ của những điểm như vậy có thể dễ dàng tính được nếu như biết tọa độ của những điểm cuối của đoạn thẳng.

Vì vậy, mang đến đoạn thẳng được cho bởi những điểm cuối của nó - những điểm A u003d (x a; y a; z a) với B u003d (x b; y b; z b). Lúc đó, tọa độ của giữa đoạn - chúng tôi ký hiệu là điểm H - hoàn toàn có thể được kiếm tìm thấy bởi công thức:

Nói bí quyết khác, tọa độ giữa một đoạn là trung bình cùng của tọa độ các đầu của nó.

Nhiệm vụ. Hình lập phương đơn vị ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 được để trong hệ tọa độ làm sao để cho các trục x, y, z lần lượt dọc theo các cạnh AB, AD và AA 1 và gốc tọa độ trùng cùng với điểm A. Điểm K là trung điểm của cạnh A 1 B một. Tìm kiếm tọa độ của điểm này.

*

Vì điểm K là trung điểm của đoạn A 1 B 1 phải tọa độ của nó bởi trung bình cùng của tọa độ những đầu mút. Hãy viết tọa độ những điểm cuối: A 1 = (0; 0; 1) với B 1 = (1; 0; 1). Hiện giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của điểm K:

Nhiệm vụ. Hình lập phương đơn vị ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 được đặt trong hệ trục tọa độ làm sao cho các trục x, y, z lần lượt dọc theo các cạnh AB, AD và AA 1 và gốc tọa độ trùng cùng với điểm A. Tra cứu tọa độ. Của điểm L mà bọn chúng cắt những đường chéo của hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1.

*

Từ khóa huấn luyện planimetry, fan ta hiểu được giao điểm của những đường chéo cánh của một hình vuông vắn cách đều tất cả các đỉnh của nó. Thay thể, A 1 L = C 1 L, có nghĩa là điểm L là trung điểm của đoạn trực tiếp A 1 C 1. Nhưng mà A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1) buộc phải ta có:

Đáp số: L = (0,5; 0,5; 1)

Các vectơ thông thường không đề nghị là các vectơ đang chuyển động tốt hoặc cảm thấy tốt. Theo định nghĩa, một vectơ pháp con đường (pháp tuyến) đối với một phương diện phẳng là 1 vectơ vuông góc với phương diện phẳng sẽ cho.

Nói biện pháp khác, pháp tuyến là một trong vectơ vuông góc với cùng một vectơ ngẫu nhiên trong một phương diện phẳng cho trước. Chắc hẳn rằng bạn đã bắt gặp một định nghĩa bởi vậy - mặc dù nhiên, thay bởi vì vectơ, nó là về mặt đường thẳng. Mặc dù nhiên, sống trên đã chỉ ra rằng trong vấn đề C2 người ta rất có thể thao tác với bất kỳ đối tượng dễ dãi nào - ngay cả một con đường thẳng, thậm chí một vectơ.

Tôi xin nhắc lại một đợt tiếp nhữa rằng ngẫu nhiên mặt phẳng nào cũng được xác định trong không gian bởi phương trình Ax + By + Cz + D = 0, trong những số ấy A, B, C với D là một số trong những hệ số. Không làm giảm tính bao quát của nghiệm, bạn có thể giả sử D = 1 nếu mặt phẳng không trải qua gốc tọa độ, hoặc D = 0 ví như nó có. Trong rất nhiều trường hợp, tọa độ của vectơ pháp con đường với mặt phẳng này là n = (A; B; C).

Vì vậy, máy bay cũng có thể được thay thế thành công bình một vectơ - cùng một pháp tuyến. Ngẫu nhiên mặt phẳng như thế nào được xác minh trong không khí bởi bố điểm. Làm cố gắng nào nhằm tìm phương trình của khía cạnh phẳng (và cho nên vì vậy là pháp tuyến), bọn họ đã đàm luận ở phần đầu của bài bác viết. Mặc dù nhiên, quy trình này tạo ra nhiều vụ việc cho các người, bởi vì vậy tôi sẽ giới thiệu một vài lấy ví dụ như khác:

· Nhiệm vụ. Tiết diện A 1 BC 1 được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tra cứu vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này, nếu cội tọa độ tại điểm A và những trục x, y, z theo lần lượt trùng với những cạnh AB, AD cùng AA 1.

Quyết định. Bởi vì mặt phẳng không trải qua gốc tọa độ yêu cầu phương trình của nó gồm dạng như sau: Ax + By + Cz + 1 = 0, tức là hệ số D u003d 1. Bởi mặt phẳng này đi qua các điểm A 1, B và C 1 cần tọa độ của các điểm này trở thành phương trình của khía cạnh phẳng thành một đẳng thức số đúng.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Tương tự, với các điểm B = (1; 0; 0) với C 1 = (1; 1; 1), ta bao gồm phương trình: A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1; A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Nhưng các hệ số A = - 1 và C = - 1 sẽ được bọn họ biết trước, vì vậy họ vẫn yêu cầu tìm thông số B: B = - 1 - A - B = - 1 + 1 + 1 = 1.

Ta được phương trình của mặt phẳng: - A + B - C + 1 = 0, vày đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến đường là n = (- 1; 1; - 1).

Trả lời: n = (- 1; 1; - 1)

· Nhiệm vụ. Mặt cắt AA 1 C 1 C được vẽ vào hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Search vectơ pháp đường của khía cạnh phẳng này nếu cội tọa độ tại điểm A và những trục x, y, z trùng với các cạnh AB, AD và AA 1 lần lượt.

Quyết định. Trong trường phù hợp này, phương diện phẳng đi qua gốc tọa độ, cho nên vì vậy hệ số D u003d 0, với phương trình của mặt phẳng gồm dạng như sau: Ax + By + Cz u003d 0. Do mặt phẳng đi qua các điểm A 1 cùng C đề xuất tọa độ của những điểm này trở thành phương trình của mặt phẳng thành đồng đẳng số thiết yếu xác.

Chúng ta hãy nạm tọa độ của điểm A 1 = (0; 0; 1) cố cho x, y và z. Bọn họ có: A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Tương tự, so với điểm C = (1; 1; 0) ta tất cả phương trình: A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Cho B = 1. Khi ấy A = - B = - 1, với phương trình của toàn phương diện phẳng là: - A + B = 0. Bởi đó, tọa độ của vectơ pháp con đường là n = (- 1; 1; 0).

Trả lời: n = (- 1; 1; 0)

Nói chung, trong số bài toán trên, cần phải lập một hệ phương trình cùng giải nó. Sẽ sở hữu được ba phương trình và cha biến, mà lại trong ngôi trường hợp sản phẩm hai, một trong những chúng đã miễn phí, có nghĩa là nhận quý hiếm tùy ý. Đó là nguyên nhân tại sao họ có quyền để B = 1 - mà không tác động đến tính bao quát của giải mã và tính chính xác của câu trả lời.

Vector bình thường

Bề mặt phẳng với nhị chuẩn

Trong hình học tập vi phân, thông thường- Đây là 1 trong đường thẳng, trực giao (vuông góc) với một con đường tiếp con đường với một số trong những đường cong hoặc một khía cạnh phẳng tiếp đường với một mặt phẳng như thế nào đó. Bọn họ cũng nói đến hướng bình thường.

Vector bình thườngđối với mặt phẳng tại một điểm mang đến trước là véc tơ đối chọi vị áp dụng cho điểm đã cho và song song cùng với phương của pháp tuyến. Đối với từng điểm trên mặt phẳng nhẵn, chúng ta cũng có thể chỉ định nhị vectơ thường thì khác hướng. Giả dụ một trường liên tiếp của những vectơ thông thường có thể được khẳng định trên một bề mặt, thì trường này được đến là xác định sự định hướng mặt phẳng (nghĩa là lựa chọn 1 trong các mặt). Nếu điều đó không thể được thực hiện, bề mặt được điện thoại tư vấn là không định hướng.

Quỹ Wikimedia. Năm 2010.

Xem "Vectơ thông thường" là gì trong những từ điển khác:

Vector bình thường- normalės vektorius statusas T s viêm fizika atitikmenys: angl. Véc tơ pháp tuyến vok. Bình thường, tôi rus. Vectơ pháp tuyến, m pranc. Vecteur de la normale, m; vecteur bình thường, m… ga cuối Fizikosų žodynas

Bài báo hoặc phần này rất cần được sửa đổi. Hãy cải thiện bài viết phù phù hợp với quy tắc viết bài. Vectơ Darboux là vectơ lãnh đạo của trục cù tức thời nhưng mà khối tam diện kèm theo của đường cong L tảo tại ... ... Wikipedia

Điện cồn lực học của liên tục Điện đụng lực học của liên tục ... Wikipedia

Vectơ Darboux là vectơ chỉ huy của trục xoay tức thời mà lại khối tam diện kèm theo của con đường cong L quay lúc điểm M hoạt động thẳng rất nhiều dọc theo đường cong L. Véc tơ Darboux phía trong mặt phẳng chỉnh lưu của mặt đường cong L cùng được biểu lộ bằng quy định của đơn vị chức năng ... ... Wikipedia

Gradient (từ gradiens tiếng Latinh, đưa ra gradientis đi bộ), một vectơ chỉ ra rằng hướng đổi khác nhanh độc nhất của một đại lượng duy nhất định, quý giá của nó chuyển đổi từ đặc điểm này sang điểm không giống (xem lý thuyết trường). Nếu giá trị được biểu lộ ... ...

Vectơ chỉ đạo d của trục tảo tức thời cơ mà đám đi cùng với 1 khối tam diện của đường cong L quay lúc điểm M chuyển động thẳng các dọc theo mặt đường cong L. D. C. Bên trong mặt phẳng chỉnh lưu lại của con đường cong L và được biểu lộ dưới dạng vectơ đơn vị của pháp tuyến chủ yếu ... Bách khoa toàn thư toán học

Bài báo hoặc phần này rất cần phải sửa đổi. Hãy cải thiện nội dung bài viết phù hợp với quy tắc viết bài. Siêu mặt phẳng ... Wikipedia

Phức hợp phần cứng-phần mềm mặt đường ống bối cảnh để trực quan liêu hóa đồ dùng họa tía chiều. Nội dung 1 những yếu tố của cảnh cha chiều 1.1 phần cứng 1.2 Giao diện phần mềm ... Wikipedia

Một ngành toán học phân tích các tính chất của những phép toán trên vectơ trong không khí Euclide. Đồng thời, khái niệm vectơ là một trong những trừu tượng toán học của những đại lượng không chỉ được đặc trưng bởi một quý giá số, mà còn ... Bách khoa toàn thư Liên Xô vĩ đại

Thuật ngữ này còn có các nghĩa khác, xem vật dụng bay. Yêu cầu "Độ phẳng" được chuyển đào bới đây. Cần phải có một bài xích báo riêng về chủ thể này ... Wikipedia

Vectơ pháp tuyến của khía cạnh phẳng là vectơ vuông góc với mặt phẳng đang cho. Rõ ràng, ngẫu nhiên mặt phẳng nào cũng có vô số vectơ pháp tuyến. Tuy nhiên đối với giải pháp của những vấn đề, giữa những sẽ là đủ đối với chúng tôi.

Nếu khía cạnh phẳng được cho vì phương trình tổng thể , tiếp nối là vectơ là vectơ pháp con đường của phương diện phẳng đã cho. Chỉ để gia công ô nhục. Tất cả những gì nên làm là "loại bỏ" các hệ số khỏi phương trình của khía cạnh phẳng.

Ba màn hình đang chờ đón như vẫn hứa, hãy trở về Ví dụ hàng đầu và kiểm soát nó. Tôi nhắc bạn rằng sống đó sẽ phải xây dựng phương trình của mặt phẳng bằng cách sử dụng một điểm và hai vectơ. Theo kết quả của giải pháp, shop chúng tôi nhận được phương trình. Thông thường ta kiểm tra:

Đầu tiên, chúng tôi thay gắng tọa độ của điểm vào phương trình kết quả: Đẳng thức đúng thu được, có nghĩa là điểm thực sự phía bên trong mặt phẳng đang cho.

Thứ hai, chúng ta loại quăng quật vectơ pháp con đường khỏi phương trình của mặt phẳng:. Vì chưng vectơ tuy nhiên song với mặt phẳng và vectơ vuông góc với phương diện phẳng nên những dữ kiện dưới đây phải có:

*
. Tính vuông góc của vectơ có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách sử dụng thành phầm chấm
:

Kết luận: phương trình của khía cạnh phẳng tìm được là đúng.

Trong quy trình thử nghiệm, tôi đích thực trích dẫn câu sau của lý thuyết: vectơ tuy vậy song với khía cạnh phẳng nếu và chỉ nếu

*
.

Hãy giải quyết một vấn đề đặc biệt quan trọng có tương quan đến bài học:

Ví dụ 5

Tìm vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng

*
.

Quyết định: Một vectơ solo vị là một vectơ bao gồm độ nhiều năm là một. Hãy thể hiện vectơ này bằng. Về cơ bản, phong cảnh trông như vậy này:

*
Rõ ràng là những vectơ trực tiếp hàng.

Đầu tiên, họ loại quăng quật vectơ pháp con đường khỏi phương trình của phương diện phẳng:.

Làm cố kỉnh nào nhằm tìm véc tơ solo vị? Để tìm véc tơ đơn vị , nhu yếu mỗi tọa độ vector chia đến độ nhiều năm của vectơ.

Hãy viết lại vectơ pháp tuyến dưới dạng và tìm độ nhiều năm của nó:

Theo như trên:

Trả lời:

*

Kiểm tra:, được yêu ước để kiểm tra.

Độc giả học kỹ đoạn cuối của bài xích Tích chấm của vectơ chắc rằng nhận thấy rằng đơn vị tọa độ vector đúng là các cosin có vị trí hướng của vectơ:

Hãy lạc đề từ sự việc đã được toá rời: khi bạn được hỗ trợ một vectơ khác 0 tùy ý, cùng theo điều kiện, nó được yêu mong tìm những cosin có vị trí hướng của nó (nhiệm vụ cuối cùng của bài học kinh nghiệm Tích chấm của vectơ), thì bên trên thực tế, các bạn cũng tìm kiếm thấy một vector trực tiếp hàng đơn vị với một đơn vị đã cho.

Trong thực tế, hai trọng trách trong một chai.

Nhu ước tìm một vectơ pháp tuyến đơn vị nảy sinh trong một trong những bài toán giải tích toán học.

Xem thêm: ĐÁ»C TruyệN Cổ Tã­Ch ViệT Nam ThạCh Sanh, Truyện Cổ Tích Việt Nam Thạch Sanh Và Lý Thông

Chúng tôi đang tìm ra sự đánh bắt cá của véc tơ thông thường, bây giờ chúng tôi sẽ trả lời thắc mắc ngược lại.