TÌM TỌA ĐỘ VECTO TRONG CƠ SỞ

     
Bài viết này noithatthoidai.vn ra mắt đến bạn đọc định hướng kèm ví dụ bài tập chi tiết về các đại lý của không khí véctơ:

*

1. Cửa hàng của không khí véctơ

Trong không khí $mathbbR^n$ từng hệ gồm $n$ véctơ $left P_1,P_2,...,P_n ight$ hòa bình tuyến tính được gọi là 1 cơ sở của không gian $mathbbR^n.$

Ví dụ 1: Hệ gồm hai véctơ $P_1=(1,2),P_2=(-2,1)$ là một trong những cơ sở của không khí $mathbbR^2$ do $P_1,P_2$ hòa bình tuyến tính vị không tỉ lệ.

Bạn đang xem: Tìm tọa độ vecto trong cơ sở

Ví dụ 2: Hệ gồm tía véctơ $P_1=(1,0,0),P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1)$ là 1 trong cơ sở của không gian $mathbbR^3$ bởi vì $P_1,P_2,P_3$ độc lập tuyến tính.

Ví dụ 3: Hệ có n véctơ $E_1=(1,0,0,...,0),E_2=(0,1,0,...,0),...,E_n=(0,0,0,...,1)$ là 1 trong những cơ sở của không khí $mathbbR^n.$

2. Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở

Giả sử hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$ là một trong cơ sở của $mathbbR^n.$ lúc ấy mọi véctơ $Xin mathbbR^n$ phần đông được biểu diễn tuyến tính một phương pháp duy nhất qua hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$, tức là luôn tồn tại tốt nhất $n$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _n$ sao cho $X=alpha _1P_1+alpha _2P_2+...+alpha _nP_n.$ bộ số $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ được call là toạ độ của véctơ $X$ trong cơ sở $left P_1,P_2,...,P_n ight.$Ta đã biết rằng $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ là nghiệm của hệ con đường tính bao gồm ma trận hệ số không ngừng mở rộng $overlineA=left( P_1P_2...P_nX ight)$ trong những số ấy $P_1,P_2,...,P_n,X$ viết dưới dạng cột.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ tất cả 3 véctơ $v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,3)$ là một cơ sở của $mathbbR^3$ và tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ đối với cơ sở đó.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=left v_1,v_2,v_3 ight$ là 1 cơ sở của $mathbbR^3$ và tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cơ sở đó:

a) $v_1=(2,1,1),v_2=(6,2,0),v_3=(7,0,7),v=(15,3,1).$

b) $v_1=(0,1,1),v_2=(2,3,0),v_3=(1,0,1),v=(2,3,0).$

c) $v_1=(1,2,-1),v_2=(2,3,0),v_3=(5,7,2),v=(2,-3,6).$

d) $v_1=(1,2,3),v_2=(1,3,-2),v_3=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ bao gồm 4 véctơ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ bên dưới đây

$P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,-3)$

là một các đại lý của $mathbbR^4$ và tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong các đại lý đó.

Ví dụ 4: Tìm $m$ để hệ gồm 3 véctơ $P_1=(2,1,1),P_2=(6,2,0),P_3=(7,0,m)$ là 1 cơ sở của $mathbbR^3.$

Ví dụ 5: Tìm $m$ nhằm hệ bao gồm 4 véctơ $P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,m)$ là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^4.$

Ví dụ 6: Cho cho bố véctơ $X_1=(3,-2,4,1),X_2=(-2,1,3,-2),X_3=(-3,-1,k,2).$ tìm kiếm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ nhằm hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là một cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận những véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ làm cho véctơ dòng, tất cả $A = left( eginarray*20c 3& - 2&4&1\ - 2&1&3& - 2\ - 3& - 1&k&2\ a&b&c&d endarray ight).$

Ta yêu cầu tìm $(a,b,c,d)$ làm thế nào để cho $det (A) e 0.$ khai triển theo loại 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + c( - 1)^4 + 3left| eginarray*20c 3& - 2&1\ - 2&1& - 2\ - 3& - 1&2 endarray ight| + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + 15c + dA_44. endarray$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=d=0,c e 0$ khi đó $det (A)=15c e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,c,0),c e 0.$

Ví dụ 7: Cho cha véctơ $X_1=(2,k,4,-1),X_2=(-3,1,2,k),X_3=(6,-1,-4,-2).$ search một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận những véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ làm cho véctơ dòng, bao gồm $A = left( eginarray*20c 2&k&4& - 1\ - 3&1&2&k\ 6& - 1& - 4& - 2\ a&b&c&d endarray ight).$ Ta cần tìm $(a,b,c,d)$ làm sao để cho $det (A) e 0.$ khai triển theo mẫu 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 + d( - 1)^4 + 4left| eginarray*20c 2&k&4\ - 3&1&2\ 6& - 1& - 4 endarray ight|\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 - 16d. endarray$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=c=0,d e 0$ lúc ấy $det (A)=-16d e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,0,d),d e 0.$

3. Cửa hàng và số chiều của không gian con

Cho L là một không khí con của $mathbbR^3.$ Hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ phía trong L được gọi là 1 trong những cơ sở của L trường hợp thoả mãn bên cạnh đó hai điều kiện:

Hệ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ tự do tuyến tính;Mọi véctơ $Xin L$ phần nhiều được màn biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight.$

Số véctơ của đại lý của L được hotline là số chiều của L với được kí hiệu là dimL.

Ví dụ 1: Cho không khí con $L=leftx_2=2x_1 ight.$ minh chứng rằng hệ có hai véc tơ $P_1=(1,2,0),P_2=(1,2,1)$ là 1 cơ sở của L.

Ví dụ 2: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3)in mathbbR^3.$ tìm kiếm một đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 4: Cho không gian con $L=leftax_1+bx_2+cx_3=0 ight(a,b,cin mathbbR;a e 0).$ chứng minh rằng hệ tất cả hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3(a e 0).$

Vậy $X=left( -fracbax_2-fraccax_3,x_2,x_3 ight)=left( -fracbax_2,x_2,0 ight)+left( -fraccax_3,0,x_3 ight)=x_2left( -fracba,1,0 ight)+x_3left( -fracca,0,1 ight).$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ độc lập tuyến tính vị không tỉ lệ cần hệ gồm hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là một trong những cơ sở của L.

Xem thêm: Đọc Sử Thi Đăm Săn - Văn Bản Chiến Thắng Mtao Mxây Sử Thi Đăm Săn

Ví dụ 8: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,4x_1-5x_2)in mathbbR^3 ight.$ kiếm tìm một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 9: Cho không gian con $L=left2x_1+x_2-x_4=0 ight.$ tra cứu một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 10: Cho không khí con $L=left X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)in mathbbR^3 ight.$ search một các đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 11: Cho không gian con $L=left X=(a,b,c,d)in mathbbR^4.$ search một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 12: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4.$ kiếm tìm một đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 13: Cho không gian con $L=left X=(4x_2+x_3+3,x_2,x_3,-3x_2+x_3)in mathbbR^4 ight.$ tra cứu một đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 14: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4(a,b,c,din mathbbR;a e 0).$ chứng tỏ rằng hệ gồm cha véctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là 1 trong những cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3-fracdax_4(a e 0).$Vậy

$eginarrayc X = left( - fracbax_2 - fraccax_3 - fracdax_4,x_2,x_3,x_4 ight) = left( - fracbax_2,x_2,0,0 ight) + left( - fraccax_3,0,x_3,0 ight) + left( - fracdax_4,0,0,x_4 ight)\ = x_2left( - fracba,1,0,0 ight) + x_3left( - fracca,0,1,0 ight) + x_4left( - fracda,0,0,1 ight). endarray$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ độc lập tuyến tính đề nghị hệ gồm bavéctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.

Hiện tại noithatthoidai.vn desgin 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 và Toán thời thượng 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế của tất cả các trường:

Khoá học cung ứng đầy đủ kỹ năng và kiến thức và phương thức giải bài xích tập các dạng toán kèm theo mỗi bài xích học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng từ bỏ luận tất cả lời giải cụ thể tại website sẽ giúp học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn rằng kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học giúp học viên ăn điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 cùng Toán cao cấp 2 trong những trường khiếp tế.

Xem thêm: Cách Vẽ Tranh Trang Trí Hình Vuông Đơn Giản Mà Đẹp, Dễ Vẽ Cho Các Bé

Sinh viên các trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được combo này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH nước ngoài Thương

- ĐH thương Mại

- học viện chuyên nghành Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH giang sơn Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên mọi cả nước...