Rút Gọn Lượng Giác Lớp 10

     

Bài trước đã học công thức lượng giác, bài này sẽ giúp bạn sử dụng công thức một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác thông qua các ví du. Từ đó nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.

Thí dụ 1. Rút gọn biểu thức: A = cos10x + 2cos$^2$4x + 6cos3x.cosx - cosx - 8cosx.cos$^3$3x.

Bạn đang xem: Rút gọn lượng giác lớp 10


Biến đổi biểu thức về dạng:A = cos10x + 1 + cos8x - cosx - 2(4cos$^3$3x - 3cos3x)cosx= 2cos9x.cosx + 1 - cosx - 2cos9x.cosx = 1 - cosx.Nhận xét:
Như vậy, để rút gọn các biểu thức trên chúng ta sử dụng công thức hạ bậc dựa trên ý tưởng chủ đạo là biến đổi nó về dạng tổng.Thí dụ 2. Rút gọn các biểu thức:a. A = $\frac{{1 - {{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)}}{{1 - {{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}$ - cot($\frac{\pi }{2}$ - α).tan(α - $\frac{\pi }{2}$).b. B = $\frac{{{{\sin }^4}2x + {{\cos }^4}2x}}{{\tan (\frac{\pi }{4} - x).\tan (\frac{\pi }{4} + x)}}$.
a. Biến đổi A về dạng:A = $\frac{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}{{1 - {{\cos }^2}\alpha }}$ + tanα.cotα = $\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ + 1 = $\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ = $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$.b. Biến đổi B về dạng:B = $\frac{{{{({{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x)}^2} - 2{{\sin }^2}2x.{{\cos }^2}2x}}{{\tan (\frac{\pi }{4} - x).\cot (\frac{\pi }{4} - x)>}}$ = 1 - $\frac{1}{2}$sin24x.Nhận xét: Như vậy, để rút gọn các biểu thức trên chúng ta chỉ việc sử dụng mối liên hệ giữa các góc đặc biệt.Thí dụ 3.
Rút gọn biểu thức: A = $\frac{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}}{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}}$.
Ta lần lượt có: sinx + sin3x + sin5x = sinx + sin5x + sin3x= 2sin3x.cos2x + sin3x = sin3x(2cos2x + 1). (1)cosx + cos3x + cos5x = cosx + cos5x + cos3x= 2cos3x.cos2x + cos3x = cos3x(1cos2x - 1). (2)Từ (1) và (2) suy ra: A = $\frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}$ = tan3x.Nhận xét:
Đương nhiên, chúng ta có thể trình bày theo kiểu biến đổi đồng thời TS và MS. Cách trình bày như trên có tính minh hoạ để các em học sinh lấy nó áp dụng cho những biểu thức mà độ phức tạp trong các phép biến đổi cho TS và MS khác nhau.Thí dụ 4. Rút gọn các biểu thức:a. A = $\left( {\frac{1}{{\cos 2x}} + 1} \right)$.tanx. b. B = cos8x.cot4x - $\frac{{{{\cot }^2}2x - 1}}{{2\cot 2x}}$.
a. Ta biến đổi: A = $\frac{{1 + \cos 2x}}{{\cos 2x}}$.tanx = $\frac{{2{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}}$.$\frac{{\sin x}}{{\cos x}}$= $\frac{{2\cos x.\sin x}}{{\cos 2x}}$ = $\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}$ = tan2x.b. Ta biến đổi: B = cos8x.cot4x - $\frac{{{{\cos }^2}2x - {{\sin }^2}2x}}{{2\cos 2x.\sin 2x}}$= cos8x. $\frac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}}$ - $\frac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}}$= (cos8x - 1) $\frac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}}$ = -2sin24x.$\frac{{\cos 4x}}{{\sin 4x}}$ = -2 sin4x.cos4x = -sin8x.Nhận xét:
Như vậy, để rút gọn các biểu thức hỗn hợp chứa sin, cos và tan, cot như trên chúng ta thường chuyển đổi tan, cot theo sin, cos.Thí dụ 5. Rút gọn các biểu thức:a. A = sin$^2$a + sin$^2$2a + ... + sin$^2$na.b. B = $\frac{1}{{\sin a.\sin 2a}}$ + $\frac{1}{{\sin 2a.\sin 3a}}$ + ... + $\frac{1}{{\sin na.\sin (n + 1)a}}$.
a. Ta biến đổi biểu thức về dạng:A = $\frac{1}{2}$(1 - cos2a) + $\frac{1}{2}$(1 - cos4a) + ... + $\frac{1}{2}$(1 - cos2na)= $\frac{n}{2}$ - $\frac{1}{2}$(cos2a + cos4a + ... + cos2na).Xét hai trường hợp
:Trường hợp 1: Nếu a = kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$ thì: cos2a = cos4a = ... = cos2na = 1 ⇒ D = 0.Trường hợp 2: Nếu a ≠ kπ, k ∈ $\mathbb{Z}$ thì ta tính được tổng: T = cos2a + cos4a + ... + cos2na = $\frac{{\cos (n + 1)a.\sin na}}{{\sin a}}$Từ đó, suy ra: A = $\frac{n}{2}$ - $\frac{{\cos (n + 1)a.\sin na}}{{2\sin a}}$.b. Nhân cả hai vế của biểu thức với sina, ta được:B.sina = $\frac{{\sin a}}{{\sin a.\sin 2a}}$ + $\frac{{\sin a}}{{\sin 2a.\sin 3a}}$ + ... + $\frac{{\sin a}}{{\sin na.\sin (n + 1)a}}$= $\frac{{\sin (2a - a)}}{{\sin a.\sin 2a}}$ + $\frac{{\sin (3a - 2a)}}{{\sin 2a.\sin 3a}}$ + ... + $\frac{{\sin <(n + 1)a - na>}}{{\sin na.\sin (n + 1)a}}$= cota - cot2a + cot2a - cot3a + … + cotna - cot(n + 1)a= cota - cot(n + 1)a = $\frac{{\sin na}}{{\sin a.\sin (n + 1)a}}$⇔ B = $\frac{{\sin na}}{{{{\sin }^2}a.\sin (n + 1)a}}$.Thí dụ 6.

Xem thêm: Nói Chuyện Làm Sao Để Hết Nhạt Nhẽo Trong Giao Tiếp? Làm Thế Nào Để Hết Nhạt Nhẽo

Rút gọn biểu thức A = $\frac{1}{{\sin a}}$ + $\frac{1}{{\sin 2a}}$ + ... + $\frac{1}{{\sin {2^n}a}}$.
Ta có: $\frac{1}{{\sin {2^k}a}}$ = $\frac{{1 + \cos {2^k}a - \cos {2^k}a}}{{\sin {2^k}a}}$ = $\frac{{1 + \cos {2^k}a}}{{\sin {2^k}a}}$ - $\frac{{\cos {2^k}a}}{{\sin {2^k}a}}$= $\frac{{2{{\cos }^2}{2^{k - 1}}a}}{{2\sin {2^{k - 1}}a.\cos {2^{k - 1}}a}}$ - cot$^{2k}$a = cot2$^{k-1}$a - cot2$^{k}$a.Suy ra: A = cot$\frac{a}{2}$ - cota + cota - cot2a + ... + cot$^{2n-1}$a - cot$^{2n}$a = cot$\frac{a}{2}$ - cot2$^n$a.Thí dụ 7.
Rút gọn biểu thức: A = tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tan(n - 1)a.tanna.
Ta có: tana = tan<(k + 1) - k>a = $\frac{{\tan (k + 1)a - \tan ka}}{{1 + \tan (k + 1)a.\tan ka}}$⇔ tanka.tan(k + 1)a = $\frac{{\tan (k + 1)a - \tan ka}}{{\tan a}}$ - 1,do đó: tana.tan2a = $\frac{{\tan 2a - \tan a}}{{\tan a}}$ - 1; tan2a.tan3a = $\frac{{\tan 3a - \tan 2a}}{{\tan a}}$ - 1...tan(n - 1)a.tanna = $\frac{{\tan na - \tan (n - 1)a}}{{\tan a}}$ - 1suy ra: A = $\frac{{\tan na - \tan a}}{{\tan a}}$ - (n - 1) = $\frac{{\tan na}}{{\tan a}}$ - n.Chú ý:
Kết quả của bài toán trên được sử dụng để đơn giản biểu thức: A = $\frac{1}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{1}{{\cos 2a.\cos 3a}}$ + ... + $\frac{1}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$.Thật vậy, nếu nhân cả hai vế của đẳng thức với cosa, ta được: B.cosa = $\frac{{\cos a}}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{{\cos a}}{{\cos 2a.\cos 3a}}$ + ... + $\frac{{\cos a}}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$= $\frac{{\cos (2a - a)}}{{\cos a.\cos 2a}}$ + $\frac{{\cos (3a - 2a)}}{{\cos 2a.\cos 3a}}$ + ... + $\frac{{\cos <(n + 1)a - na>}}{{\cos na.\cos (n + 1)a}}$= 1 + tana.tan2a + 1 + tan2a.tan3a + ... + 1 + tanna.tan(n + 1)a= n + tana.tan2a + tan2a.tan3a + ... + tanna.tan(n + 1)a= n + $\frac{{\tan (n + 1)a}}{{\tan a}}$ - n - 1 = $\frac{{\tan (n + 1)a}}{{\tan a}}$ - 1.Tuy nhiên, có thể sử dụng sina để nhận được lời giải độc lập.Thí dụ 8. Rút gọn biểu thức A = tana + $\frac{1}{2}$tan$\frac{a}{2}$ + ... + $\frac{1}{{{2^n}}}$tan$\frac{a}{{{2^n}}}$.
Nhận xét rằng:cotx - tanx = $\frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{\sin x.\cos x}}$ = $\frac{{2\cos 2x}}{{\sin 2x}}$ = 2cot2x ⇔ tanx = cotx - 2cot2x.Từ đó, ta có các kết quả: tana = cota - 2cot2a, $\frac{1}{2}$tan$\frac{a}{2}$ = $\frac{1}{2}$cot$\frac{a}{2}$ - cota,…$\frac{1}{{{2^n}}}$tan$\frac{a}{{{2^n}}}$ = $\frac{1}{{{2^n}}}$cot$\frac{a}{{{2^n}}}$ - $\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}$cot$\frac{a}{{{2^{n - 1}}}}$.Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được A = $\frac{1}{{{2^n}}}$cot$\frac{a}{{{2^n}}}$ - 2cot2a.Thí dụ 9.
Rút gọn biểu thức A = $\frac{{\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 - \sin 2x} }}{{\sqrt {1 + \sin 2x} - \sqrt {1 - \sin 2x} }}$, với - $\frac{\pi }{4}$ A = $\frac{{{{(\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 - \sin 2x} )}^2}}}{{(\sqrt {1 + \sin 2x} - \sqrt {1 - \sin 2x} )(\sqrt {1 + \sin 2x} + \sqrt {1 - \sin 2x} )}}$= $\frac{{1 + \sin 2x + 2\sqrt {1 - {{\sin }^2}2x} + 1 - \sin 2x}}{{1 + \sin 2x - 1 + \sin 2x}}$= $\frac{{1 + \sqrt {{{\cos }^2}2x} }}{{\sin 2x}}$ = $\frac{{1 + |\cos 2x|}}{{\sin 2x}}$$\mathop = \limits^{ - \frac{\pi }{4} Chú ý: Người ta có thể sử dụng kết quả của ví dụ trên để tạo ra những yêu cầu khá thú vị, để minh hạo ta xét đòi hỏi:“Cho t ∈ <-1; 1>\{0} và thoả mãn tanx = $\frac{{\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 - t} }}{{\sqrt {1 + t} - \sqrt {1 - t} }}$. Chứng minh rằng t = sin2x”.Trước hết: tanx = $\frac{{{{(\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 - t} )}^2}}}{{(\sqrt {1 + t} - \sqrt {1 - t} )(\sqrt {1 + t} + \sqrt {1 - t} )}}$ = $\frac{{1 + \sqrt {1 - {t^2}} }}{t}$.Mặt khác: sin2x = $\frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}$ = $\frac{{2.\frac{{1 + \sqrt {1 - {t^2}} }}{t}}}{{1 + {{\left( {\frac{{1 + \sqrt {1 - {t^2}} }}{t}} \right)}^2}}}$ = $\frac{{2(1 + \sqrt {1 - {t^2}} )t}}{{2(1 + \sqrt {1 - {t^2}} )}}$ = t.Chú ý: Trong các bài toán thi chúng ta thường gặp phải yêu cầu "Chứng minh đẳng thức lượng giác độc lập với biến số".Thí dụ 10. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = cos$^2$(x - $\frac{\pi }{3}$) + cos2x + cos2(x + $\frac{\pi }{3}$).
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách biến đổi sau:Cách 1:
Ta biến đổi:A = (cosx.cos$\frac{\pi }{3}$ + sinx.sin$\frac{\pi }{3}$)2 + cos2x + (cosx.cos$\frac{\pi }{3}$ - sinx.sin$\frac{\pi }{3}$)2= ($\frac{1}{2}$cosx + $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$sinx)2 + cos2x + ($\frac{1}{2}$cosx - $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$sinx)2= $\frac{1}{2}$cos$^2$x + $\frac{3}{2}$sin$^2$x + cos$^2$x = $\frac{3}{2}$(sin$^2$x + cos$^2$x) = $\frac{3}{2}$.Vậy, biểu thức A không phụ thuộc vào x.Cách 2: Ta biến đổi:A = $\frac{1}{2}$<1 + cos(2x - $\frac{{2\pi }}{3}$)> + cos2x + $\frac{1}{2}$<1 + cos(2x + $\frac{{2\pi }}{3}$)>= 1 + cos2x + $\frac{1}{2}$= 1 + cos2x + cos2x.cos$\frac{{2\pi }}{3}$ = 1 + cos2x - $\frac{1}{2}$(2cos2x - 1) = $\frac{3}{2}$.Thí dụ 11. Xác định a ∈ (0; $\frac{\pi }{2}$) để biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = cosx + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) + cos(x + 6a).

Xem thêm: Giáo Án Powerpoint Tiếng Anh Lớp 4, Bài Giảng Điện Tử Môn Tiếng Anh 4 Các Môn


Ta biến đổi:A = cosx + cos(x + 6a) + cos(x + 2a) + cos(x + 4a) = 2cos(x + 3a).cos3a + 2cos(x + 3a).cosa = 2(cos3a + cosa)cos(x + 3a).Để biểu thức không phụ thuộc vào x điều kiện là:cos3a + cosa = 0 ⇔ cos3a = cos(π - a) = 0⇔ $\left< \begin{array}{l}3a = \pi - a + 2k\pi \\3a = - \pi + a + 2k\pi \end{array} \right.$⇔ $\left< \begin{array}{l}a = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\a = - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$ $\mathop \Leftrightarrow \limits^{a \in (0,\,\frac{\pi }{2})} $ a = $\frac{\pi }{4}$.Vậy, với a = $\frac{\pi }{4}$ biểu thức không phụ thuộc vào x.
*
Bản đầy đủ: Các dạng toán lớp 10