ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM

     
​​​​​​Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) với x0 Î (a; b):

$f"(x_0)=undersetx o x_0mathoplim ,fracf(x)-f(x_0)x-x_0$=$undersetDelta x o 0mathoplim ,fracDelta yDelta x$ (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0))

nếu như hàm số y = f(x) gồm đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Bạn đang xem: điều kiện để hàm số có đạo hàm tại 1 điểm

2. Đạo hàm bên trái, mặt phải

. .

Hệ trái : Hàm có đạo hàm tại bên cạnh đó .

3. Đạo hàm bên trên khoảng, bên trên đoạn

$ullet $ Hàm số gồm đạo hàm (hay hàm khả vi) bên trên <(a;b)> nếu nó tất cả đạo hàm tại hầu như điểm thuộc <(a;b)> $ullet $ Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên < ext !!!! ext > nếu như nó tất cả đạo hàm tại đầy đủ điểm thuộc <(a;b)> đồng thời tồn tại đạo hàm trái và đạo hàm yêu cầu .

4. Mối contact giữa đạo hàm cùng tính liên tục

$ullet $ Nếu hàm số có đạo hàm tại thì liên tiếp tại .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm rất có thể liên tục tại điểm tuy nhiên hàm đó không có đạo hàm tại .


B. Bài xích tập

I. Bài bác tập minh họa

Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để làm định nghĩa đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại

A. . B.

C. . D. .

Hướng dẫn giải:

Theo quan niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở giải đáp C đúng.

Chọn C.

Câu 2. Cho hàm số $fleft( x ight)$ tiếp tục tại . Đạo hàm của $fleft( x ight)$ tại

A. $fleft( x_0 ight)$.

B. .

C. (nếu vĩnh cửu giới hạn).

D. (nếu vĩnh cửu giới hạn).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Định nghĩa tuyệt (nếu vĩnh cửu giới hạn).

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$có đạo hàm tại $x_0$ là . Xác định nào dưới đây sai?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

A. Đúng (theo có mang đạo hàm tại một điểm).

B. Đúng vị

 

C. Đúng bởi

Đặt

Câu 4. Số gia của hàm số ứng với cùng bởi bao nhiêu?

A. <-19>.  B. <7>. C. <19>D. <-7>.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có $Delta y=fleft( x_0+Delta x ight)-fleft( x_0 ight)=left( x_0+Delta x ight)^3-2^3=x_0^3+left( Delta x ight)^3+3x_0Delta xleft( x_0+Delta x ight)-8$.

Với với $Delta x=1$ thì $Delta y=19$.

Câu 5. Tỉ số của hàm số theo x cùng

A. <4x+2Delta x+2.>  B. <4x+2left( Delta x ight)^2-2.>

C. <4x+2Delta x-2.> D. <4xDelta x+2left( Delta x ight)^2-2Delta x.>

Hướng dẫn giải:

Chọn C

<=frac2left( x-x_0 ight)left( x+x_0 ight)-2left( x-x_0 ight)x-x_0=2x+2x_0-2=4x+2Delta x-2>

II. Bài bác tập từ luyện

Câu 1. Số gia của hàm số ứng cùng với số gia của đối số x tại

A. B. .> C. .> D.

 

Câu 2. Cho hàm số , đạo hàm của hàm số ứng cùng với số gia của đối số x trên x0 là

A.   B.

C.   D.

Câu 3. Cho hàm số 

*
 

Xét hai mệnh đề sau:

(I) .

(II) Hàm số không có đạo hàm trên .

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai các sai. D. Cả hai đầy đủ đúng.

Câu 4. Tính đạo hàm 

*
 

tại điểm $x_0=1$.

A. $frac13$ B. $frac15$ C. $frac12$ D. $frac14$

Câu 5. Tính đạo hàm

*
 tại $x_0=1$.

A. $0$ B. $4$ C. $5$ D. Đáp án khác

Câu 6. Cho hàm số

*
. Lúc ấy là hiệu quả nào sau đây?

A. $frac14.$  B. $frac116.$ C. $frac132.$ D. Không tồn tại.

Câu 7. Cho hàm số . Khi đó  là hiệu quả nào sau đây?

A. Không tồn tại. B. 0   C. 1. D. 2.

Câu 8. Cho hàm số

*
. Để hàm số này còn có đạo hàm tại $x=2$ thì cực hiếm của b

A. $b=3.$ B. $b=6.$ C. $b=1.$ D. $b=-6.$

Câu 9. Số gia của hàm số ứng với x cùng

A. B. <2x+Delta x.> C.   D. <2x-4Delta x.>

Câu 10. Xét ba mệnh đề sau:

(1) giả dụ hàm số bao gồm đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó.

(2) trường hợp hàm số liên tục tại điểm thì tất cả đạo hàm trên điểm đó.

(3) ví như cách biệt tại thì chắc hẳn rằng không có đạo hàm trên điểm đó.

Trong cha câu trên:

A. Có hai câu đúng với một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai.

C. Cả cha đều đúng. D. Cả tía đều sai.

Câu 11. Xét nhì câu sau:

(1) Hàm số tiếp tục tại

(2) Hàm số gồm đạo hàm tại

Trong nhị câu trên:

A. Chỉ tất cả (2) đúng. B. Chỉ bao gồm (1) đúng. C. Cả hai phần đa đúng. D. Cả hai đa số sai.

Câu 12. Cho hàm số . Xét nhị câu sau:

(1). Hàm số trên gồm đạo hàm tại.

Xem thêm: Các Bệnh Mù Màu Máu Khó Đông Ở Người Di Truyền Theo Quy Luật Nào?

(2). Hàm số trên thường xuyên tại .

Trong hai câu trên:

A. Chỉ bao gồm (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. Cả hai những đúng. D. Cả hai những sai.

Câu 13. Tìm nhằm hàm số

*
 có đạo hàm trên .

A.

*
B.
*
C.
*
D.
*

Câu 14. Cho hàm số

*
. Với cái giá trị nào tiếp sau đây của a, b thì hàm số gồm đạo hàm tại $x=1$?

A. $a=1;b=-frac12.$ B. $a=frac12;b=frac12.$ C. $a=frac12;b=-frac12.$  D. $a=1;b=frac12.$

Câu 15 . Tính đạo hàm

*
 tại .

A. $0$ B. $frac12$ C. $frac23$ D. $7$

Câu 16. Tính đạo hàm

*
 tại $x_0=0$

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 17. Tính đạo hàm $f(x)=frac x+1 ightx$ tại $x_0=-1$.

A. 2 B. 0 C. 3 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Câu 1.

Chọn A

Với số gia của đối số x trên Ta có

Câu 2.

Chọn B

Ta có :

<=x_0^2+2x_0Delta x+left( Delta x ight)^2-x_0-Delta x-x_0^2+x_0=left( Delta x ight)^2+2x_0Delta x-Delta x>

Nên

Vậy

Câu 3.

Chọn B.

Gọi  là số gia của đối số tại 0 làm sao để cho > 0.

Ta tất cả .

Nên hàm số không có đạo hàm trên 0.

Câu 4.

Chọn C.

$undersetx o 1mathoplim ,fracf(x)-f(1)x-1=undersetx o 1mathoplim ,fracsqrtx^3-2x^2+x+1-1(x-1)^2=undersetx o 1mathoplim ,fracxsqrtx^3-2x^2+x+1+1=frac12$

Vậy $f"(1)=frac12$.

Câu 5.

Chọn D.

Ta bao gồm $undersetx o 1^+mathoplim ,f(x)=undersetx o 1^+mathoplim ,left( 2x+3 ight)=5$

$undersetx o 1^-mathoplim ,f(x)=undersetx o 1^-mathoplim ,fracx^3+2x^2-7x+4x-1=undersetx o 1^-mathoplim ,(x^2+3x-4)=0$

Dẫn tới $undersetx o 1^+mathoplim ,f(x) e undersetx o 1^-mathoplim ,f(x)Rightarrow $ hàm số không thường xuyên tại $x=1$ đề nghị hàm số không tồn tại đạo hàm trên $x_0=1$.

Câu 6.

Chọn B

Ta gồm

<=undersetx o 0mathoplim ,fracleft( 2-sqrt4-x ight)left( 2+sqrt4-x ight)4xleft( 2+sqrt4-x ight)=undersetx o 0mathoplim ,fracx4xleft( 2+sqrt4-x ight)=undersetx o 0mathoplim ,frac14left( 2+sqrt4-x ight)=frac116.>

Câu 7.

Chọn A.

Ta tất cả yêu cầu .

Do yêu cầu ko tồn tại.

Câu 8.

Chọn B

Ta có

<ullet fleft( 2 ight)=4>

<ullet undersetx o 2^-mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 2^-mathoplim ,x^2=4>

<ullet undersetx o 2^-mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 2^-mathoplim ,left( -fracx^22+bx-6 ight)=2b-8>

gồm đạo hàm tại $x=2$ khi và chỉ còn khi tiếp tục tại $x=2$

Câu 9.

Chọn A

Ta có

<=left( Delta x+x ight)^2-4left( Delta x+x ight)+1-left( x^2-4x+1 ight)>

<=Delta x^2+2Delta x.x+x^2-4Delta x-4x+1-x^2+4x-1=Delta x^2+2Delta x.x-4Delta x=Delta xleft( Delta x+2x-4 ight)>

Câu 10.

Chọn A

(1) ví như hàm số bao gồm đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) ví như hàm số liên tục tại điểm thì gồm đạo hàm trên điểm đó.

Phản lấy ví dụ như

Lấy hàm ta bao gồm cần hàm số liên tục trên .

Nhưng ta có 

*

Nên hàm số không tồn tại đạo hàm trên .

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

(3) giả dụ cách biệt tại thì chắc chắn rằng không tồn tại đạo hàm trên điểm đó.

Vì (1) là mệnh đề đúng yêu cầu ta tất cả không liên tiếp tại thì tất cả đạo hàm trên điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Câu 11.

Chọn B

Ta có :

*
. Vậy hàm số liên tục tại

Ta có : (với )

Do đó :

*

Vì giới hạn hai bên khác nhau nên ko tồn tại số lượng giới hạn của khi .

Vậy hàm số không có đạo hàm trên

Câu 12.

Chọn B.

Ta gồm

+) $undersetx o 0^+mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^+mathoplim ,left( x^2+x ight)=0$.

+) $undersetx o 0^-mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x^2-x ight)=0$.

+) $fleft( 0 ight)=0$.

$Rightarrow undersetx o 0^+mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,fleft( x ight)=fleft( 0 ight)$. Vậy hàm số liên tiếp tại $x=0$.

Mặt khác:

+) $f"left( 0^+ ight)=undersetx o 0^+mathoplim ,fracfleft( x ight)-fleft( 0 ight)x-0=undersetx o 0^+mathoplim ,fracx^2+xx=undersetx o 0^+mathoplim ,left( x+1 ight)=1$.

+) $f"left( 0^- ight)=undersetx o 0^-mathoplim ,fracfleft( x ight)-fleft( 0 ight)x-0=undersetx o 0^-mathoplim ,fracx^2-xx=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x-1 ight)=-1$.

$Rightarrow f"left( 0^+ ight) e f"left( 0^- ight)$. Vậy hàm số không tồn tại đạo hàm tại $x=0$.

Câu 13.

Chọn D

Ta có:;

Hàm gồm đạo hàm tại thì hàm liên tiếp tại (1)

(Do)

Hàm gồm đạo hàm trên x = 1

*

Câu 14.

Chọn A

Hàm số liên tục tại $x=1$ buộc phải Ta tất cả

Hàm số tất cả đạo hàm tại $x=1$ phải giới hạn hai bên của đều bằng nhau và Ta có

Vậy $a=1;b=-frac12$

Câu 15 .

Chọn A

Ta có: $undersetx o 0mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0mathoplim ,xsin frac1x=0$

Vậy $f"(0)=0$.

Câu 16.

Chọn A

Ta có $undersetx o 0^+mathoplim ,f(x)=undersetx o 0^+mathoplim ,fracsin ^2xx=undersetx o 0^+mathoplim ,left( fracsin xx.sin x ight)=0$

$undersetx o 0^-mathoplim ,f(x)=undersetx o 0^-mathoplim ,left( x+x^2 ight)=0$ yêu cầu hàm số liên tiếp tại $x=0$

$undersetx o 0^+mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0^+mathoplim ,fracsin ^2xx^2=1$ với

$undersetx o 0^-mathoplim ,fracf(x)-f(0)x=undersetx o 0^-mathoplim ,fracx+x^2x=1$

Vậy $f"(0)=1$.

Câu 17.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta gồm hàm số liên tiếp tại $x_0=-1$ cùng

$fracf(x)-f(-1)x+1=fracx^2+x+leftx(x+1)$

Nên $undersetx o -1^+mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1=undersetx o -1^+mathoplim ,fracx^2+2x+1x(x+1)=0$

$undersetx o -1^-mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1=undersetx o -1^-mathoplim ,fracx^2-1x(x+1)=2$

Do đó $undersetx o -1^+mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1 e undersetx o -1^-mathoplim ,fracf(x)-f(-1)x+1$

Vậy hàm số không có đạo hàm trên điểm $x_0=-1$.

Xem thêm: Tìm Hai Số Lẻ Biết Tổng Của Chúng Bằng 474 Và Biết Giữa Chúng Có Tất Cả 37 Số Lẻ Khác

Nhận xét: Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $x=x_0$ thì phải liên tục tại điểm đó.