Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

     

Bài viết phía dẫn cách thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi tía đường cong, đấy là dạng toán thường gặp trong lịch trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân cùng Ứng dụng.

Bạn đang xem: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị.+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai trang bị thị.Cách 2:+ Vẽ những đồ thị trên và một hệ trục tọa độ.+ Từ thiết bị thị chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai vật thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị bố hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch chéo cánh trong hình vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ vật thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn lời giải C.

Ví dụ 2: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 – x^2 + 3x – x – 1 ight $ $ + int_frac32^2 dx $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 3: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 dx $ $ + int_3^6 dx $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| _0^3 ight| + left| _3^6 ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 4: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (vì $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng vươn lên là trên $R$ với $x=0$ là 1 trong nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 3 – (1 – 2x) ight $ $ + int_0^ln 3 dx .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 5: diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| _0^1 ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn đáp án A.

Xem thêm: Mưa Axit Và Tác Hại Của Nó, Tác Hại Của Mưa Axit Như Thế Nào

Ví dụ 6: diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ và các tiếp con đường của $(P)$ tại các giao điểm của $(P)$ cùng với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết những tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ cùng với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương trình tiếp con đường là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp con đường là: $y = 3x – 6.$Tìm những hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 dx $ $ + int_frac12^2 dx .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = 3x – x^2$ và $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ có diện tích là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 8: điện thoại tư vấn $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ và trục $Ox.$ xác minh nào sau đấy là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn giải đáp C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường nhánh cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, đường thẳng $y = 3 – 2x$ và trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ với trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ cùng $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: gọi $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị những hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ xác minh nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 dx .$B. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 dx .$C. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 dx .$D. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 dx .$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai nhánh đường nhỏ cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ và con đường thẳng $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn đáp án D.

Câu 2: Phương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn giải đáp C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn đáp án A.

Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$Chọn lời giải A.

Xem thêm: Tài Liệu Giáo Án Tìm Hiểu Về Các Món Ăn Ngày Tết, Giáo Án Kpkh: Tìm Hiểu Một Số Món Ăn Ngày Tết

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 left = frac83.$Chọn giải đáp A.